图论基础和表示：从图的概念到算法的实现

什么是图论？

图论是研究图的性质和特点的数学分支，它是计算机科学、网络科学、物理学等多个领域的基础。图论中的“图”指的是由节点和边组成的结构，每个节点代表一个实体，每条边代表实体之间的关系。

图的基本概念

在图论中，我们用G=(V, E)来表示一个图，其中V是节点集合，E是边集合。一般来说，我们用圆形表示节点，用直线表示边。

无向图：如果边没有方向，我们称之为无向图。例如下图：

①--②--③
 |  |  |
④--⑤--⑥

有向图：如果边有方向，我们称之为有向图。例如下图：

①->②③
 |     |
 v     v
④ ④
② -> ① -> ③ -> ⑤
③ -> ② -> ⑤ -> ⑥
④ -> ①
⑤ -> ② -> ③ -> ⑥
⑥ -> ③ -> ⑤

邻接表的优点是可以节省空间，但是在查找和修改时会比邻接矩阵复杂一些。

图算法

深度优先搜索

深度优先搜索是一种用于遍历图的算法。它从一个起始节点出发，不断沿着某一条边向下搜索，直到到达一个叶子节点或者无法继续搜索为止。然后回溯到上一个节点，继续搜索另外的分支。

例如，下面是一个无向图的深度优先搜索遍历结果：

①->②->③->⑥->⑤->④

广度优先搜索

广度优先搜索也是一种用于遍历图的算法。它从一个起始节点出发，不断扩展周围的节点，直到遍历完整张图。

例如，下面是一个无向图的广度优先搜索遍历结果：

①->②->④->③->⑤->⑥

最短路径算法

最短路径算法用于求解图中两个节点之间的最短路径。其中，最经典的算法是Dijkstra算法和Floyd算法。

Dijkstra算法是一种贪心算法，它从起始节点开始，不断扩展到周围的节点，更新节点的最短路径。具体来说，它维护一个集合S，其中包含已经求解出最短路径的节点，以及一个距离数组dist，用于记录每个节点到起始节点的距离。

Floyd算法是一种动态规划算法，它通过枚举中间节点，不断更新两个节点之间的最短路径。具体来说，它维护一个距离矩阵dis，其中dis[i][j]表示节点i到节点j的最短路径。

结语

图论是计算机科学中非常重要的一门学科，它涵盖了众多的算法和数据结构。通过学习图论，我们可以更好地理解计算机科学中的许多问题，并且能够开发出更加高效、优美、智能的程序。

希望本文能够对大家有所帮助，谢谢您的阅读！